Bellman-Ford算法详讲

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（RichardBellman,动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（LesterFord）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V,E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为,Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u,v)，如果Distant[u]+w(u,v)<Distant[v]，则另Distant[v]=Distant[u]+w(u,v)。w(u,v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u,v)，如果存在Distant[u]+w(u,v)<Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v）>d(u)+w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。

之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点

typedef struct Edge //边
{
	int u, v;
	int cost;
}Edge;

Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];

bool Bellman_Ford()
{
	for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
		dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
	for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
		for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
			if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
			{
				dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
				pre[edge[j].v] = edge[j].u;
			}
			bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
			for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
				if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
				{
					flag = 0;
					break;
				}
				return flag;
}

void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
	while(root != pre[root]) //前驱
	{
		printf("%d-->", root);
		root = pre[root];
	}
	if(root == pre[root])
		printf("%d\n", root);
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
	pre[original] = original;
	for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
	{
		scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
	}
	if(Bellman_Ford())
		for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
		{
			printf("%d\n", dis[i]);
			printf("Path:");
			print_path(i);
		}
	else
		printf("have negative circle\n");
	return 0;
}

测试数据：

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和：

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2